Je crois que deux et deux sont quatre, Sganarelle, et que quatre et quatre sont huit. Molière. Don Juan, Acte III, Scène 1. Résumé de l’article
L’auteur applique à l’arithmétique le principe de démonstration par récurrence, qu’il appelle l’arithmétique intuitive. Il définit par récurrence les suites faibles de Goodstein, puis il passe à l’arithmétique de Peano et aux algorithmes en arithmétique. Il termine en comparant les deux points de vue : ensembles finis achevés et ensembles infinis potentiels. (...)

Résumé
L’objectif de l’article est de trouver tous les angles dont le sinus et le cosinus aient des valeurs décimales. Après avoir donné plusieurs énoncés équivalents du problème, l’auteur se ramène à un problème d’arithmétique qu’il résout par un raisonnement par récurrence.
Richard Choulet donne en complément un raisonnement utilisant les entiers de Gauss (les nombres a+bi, a et b entiers relatifs).
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Jacques Faisant
Résumé de l’article
L’objet de l’article est de donner des éléments de réflexion en vue de l’arrivée probable d’une spécialité informatique. Après quelques précisions sur les propriétés de l’anneau principal formé de l’ensemble des nombres complexes (écrits sous la forme a+ib), l’auteur rappelle les idées de base données par Jacques Arsac en 1993, puis présente les notions de programme, d’algorithme, de logiciel de calcul formel (Maple, Maxima) et de langage de programmation (Javascript.). Il (...)

Michel Lafond [1] Résumé de l’article
Considérant une suite de n chiffres , quel est le nombre C(n) de carrés parfaits qui ont ces n derniers chiffres pour terminaison ?
L’auteur présente un tableau des proportions des carrés parfaits qui ont la même terminaison de n chiffres (0 Puis viennent 2 théorèmes sur les C(n) qui permettent de simplifier les calculs.
Par passage à la limite, l’auteur montre qu’en base 10, une longue suite aléatoire de n chiffres a environ 5 chances sur 10 d’être une terminaison (...)

Jean-François Kentzel [1] Résumé de l’article
Après avoir défini la récursivité et les programmes récursifs, l’auteur donne des exemples de logiciels capables de traiter aisément la récursivité, Python et GeoTortue. Il présente des programmes « récursifs » et donne deux exemples, (une fleur, le flocon de Von Koch). _ Il termine par des références nombreuses de textes où les enseignants trouveront aides et explications supplémentaires. En annexe, un tableau donne le déroulement détaillé pas à pas du programme (...)

Alfred Dittgen
Cet article a été publié dans la Lettre Blanche no 54 (janvier 2011) de Pénombre. Pour ceux qui ne connaîtraient pas Pénombre, signalons qu’il s’agit d’une association regroupant des personnes d’horizons très divers et dont l’objectif est de traquer les utilisations intempestives, erronées, voire de mauvaise foi des nombres (chiffres) dont les décideurs et les médias nous abreuvent (sondages, statistiques, pourcentages, …). Une visite sur son site (www.penombre.org) vous (...)

Résumé de l’article Les programmes donnent une large place à l’approche intuitive et à l’expérimentation assistée par ordinateur. Sur plusieurs exemples, l’auteur met l’accent sur les difficultés de réalisation, l’importance du choix des stratégies à suivre, le travail nécessaire sur la majoration de l’erreur, les difficultés de réalisation pratique par le nombre parfois impossible à réaliser d’itérations nécessaires. L’auteur détaille le processus de plusieurs applications (méthodes des trapèzes, de Simpson, (...)

« Pour enseigner les mathématiques à John, il
faut connaître les mathématiques, et il faut
connaître John. » Morris Kline
On peut distinguer trois domaines de formation, largement interdépendants, pour
ceux qui enseignent ou qui se destinent à enseigner les mathématiques (professeurs
des écoles, PLP, professeurs certifiés ou agrégés) : les mathématiques elles-mêmes,
la didactique des mathématiques, et … tout le reste ! En particulier ce que l’on n’ose
presque plus appeler la pédagogie, tant ce (...)

Claire Berthéol [1] et Marion Béral [2] Résumé de l’article
L’article étudie l’urne de Polya contenant des boules de 3 couleurs en quantités égales. Il donne une représentation graphique des tirages, calcule les coordonnées barycentriques des points représentatifs d’un tirage, puis il étudie la composition de l’urne quand le nombre de tirages tend vers l’infini. De cette étude, les auteurs en tirent des applications en seconde, et présentent le déroulement des séances : étude des probabilités des (...)

Marcel Franz
Palimpseste
En 1628, Descartes, dans les « règles pour la direction de l’esprit » (règle IV), remarque :
« Et il me semble que certaines traces de cette vraie mathématique s’aperçoivent encore chez PAPPUS et chez DIOPHANTE, qui, tout en n’appartenant pas aux premiers âges, ont cependant vécu bien des siècles avant notre temps. Mais j’ai tendance à croire que par une ruse funeste ces auteurs l’ont ensuite étouffée ; car, ainsi que bien des artisans l’ont fait pour leurs (...)

Résumé de l’article Pour répondre aux interrogations sur le thème de la durée de la vie humaine, l’auteur explique d’abord la construction d’une table de mortalité, ou de survie (table par génération, table du moment, du futur), puis l’agglomération des tables (par exemple les sous-cohortes hommes/femmes). Il présente l’étude des tables de mortalité et de l’espérance de vie suivant les époques, puis la modélisation des systèmes de retraite, en relation avec la démographie et la croissance économique. Il (...)

Ce texte est une vignette du projet Klein, de Graeme Cohen (université de Technologie de Sydney, Australie) qui a été traduite et adaptée par Jean Moussa.
Après lecture de cet article, vous regarderez sans doute d’un autre œil les compétitions d’aviron des jeux de Londres.
Introduction
Cette vignette montre comment des mathématiques très anciennes ont pu servir, dans les années 1970, à expliquer les avantages de certaines dispositions des rames sur les bateaux de course. Ces (...)

Arno Eigenwillig et Kurt Mehlhorn
Cet article provient du site « interstices », site de culture scientifique créé par l’INRIA que l’on trouvera à l’adresse http://interstices.info/jcms/int_64256/ Une première version de ce document est parue en allemand dans la série publiée à l’occasion de l’Année de l’informatique (Informatikjahr) 2006. Les auteurs remercient H. Alt, M. Dietzfelbinger et C. Klost pour leurs remarques utiles. Nous avons tous appris à l’école primaire à faire des multiplications, en (...)

Résumé : Ce texte donne une description, utilisant le symbolisme algébrique, de la méthode géométrique expliquée en langage courant dans le roman Le maître des nombres publié en 1999 par D. JÖRGENSEN et montre la figure permettant de
comprendre cette méthode.

Résumé de l’article
Les amphithéâtres romains sont-ils en forme d’ellipse ? Une condition pour la construction est que les rangées de gradins aient la même largeur sur tout le pourtour. Selon l’architecte J.C. Galvin, l’arène et la « cavea » sont formées par raccordements d’arcs de cercles. L’article en donne une procédure de construction. Cette méthode utilisée par les romains est très astucieuse. Une annexe décrit la « groma », auxiliaire incontournable des arpenteurs romains. Plan de l’article : 1. (...)

Gérard Lopez
Résumé de l’article Après avoir défini les triplets de Pythagore, (xx+yy=zz) et donné l’exemple le plus connu (3 ;4 ;5), l’auteur fait un tour d’horizon complet de ce qu’on sait sur eux : les triplets primitifs et composés, et les méthodes classiques pour les obtenir : méthode de Pythagore, de Platon, des réduites de racine carrée de 2, d’Euclide et d’Al-Khazin. Il donne le lien entre les nombres de la suite de Fibonacci et les triplets de Pythagore. Il termine en donnant, à côté des méthodes (...)

Résumé : L’article reprend avec des modifications un article paru dans une revue américaine (voir bibliographie). Il s’agit d’un algorithme qui « lisse » une courbe par étapes successives sous la contrainte de maintenir invariante l’aire située sous cette courbe. On retrouve là le problème classique des remblais et déblais.
Que toute vallée soit exhaussée, que toute montagne et toute colline soient abaissées. Que tous les coteaux se changent en plaine. Isaïe 40-4.
Dans un repère orthonormé soit D(f) le (...)

Au cours d’un stage Hippocampe organisé par l’IREM d’Aix-Marseille, mes élèves de spécialité maths de TS ont eu le privilège de travailler sous la direction de Pierre Arnoux sur les fractals. Un des sujets de recherche a été le codage de la courbe du dragon.
Les professeurs des élèves en stage ne sont pas censés participer au travail, mais comment résister à chercher soi-même lorsqu’on se trouve devant un problème intéressant ? Un des groupes a programmé à l’aide du logiciel SAGE le dessin de la courbe. (...)