Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 496-1 (Michel Lafond)
Un triangle a un périmètre p et une aire \(\mathcal A\). Montrer que chaque côté du triangle mesure au plus

$$\frac{p}{6} \left( 1+2 \cos \left( \frac{1}{3} \arccos \left( 1 - \frac{864 \mathcal A ^2}{p^4} \right) \right) \right)$$

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Problème 496-2

Pour \(n \in \mathbb N\) et \(k \in [ 0, {n} ]\), on note \(\binom{n}{k}\) le coefficient binomial \(\frac{n !}{k !(n-k) !}\). Pour tout
nombre premier p, établir les relations suivantes :
1. \(\binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k \mod p\) pour tout entier \(k \in\) \( [1]\) ;
2. \(\binom{p+1}{k} \equiv 0 \mod p\) pour tout entier \(k \in\) \( [2]\) ;
3. \(\binom{2p}{p} \equiv 2 \mod p\) ;
4. \(\binom{pa}{pb} \equiv \binom{a}{b} \mod p\) pour \(a, b \in \mathbb N\) avec a ≥ b.

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Problème 496–3

Trouver toutes les fonctions \(f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) continues telles que, pour tout réel x,

$$f(f(x))+x=2f(x)$$

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Problème 496–4

Pour un entier \(n _in \mathbb N\)* et des réels \(x_1, ... ,x_n\), simplifier la somme ci-dessous :

$$ \sum_\limits{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \sum_\limits{1 \le i_1 < i_2 < .... < i_k \le n} \min (x_{i_1}, ... x_{i_k})$$

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 488-1 (Question de Louis-Marie Bonneval)

Le Bon, la Brute, le Truand s’affrontent dans un ultime combat. Ils sont d’habiletés inégales : le Bon atteint sa cible deux fois sur trois, la Brute une fois sur deux, le Truand une fois sur trois. Le combat se déroule en rounds successifs où chacun vise son adversaire le plus dangereux, et où ils tirent en même temps (à chaque round, les
résultats des tirs sont donc indépendants). Ces rounds se répètent tant qu’il reste au moins deux adversaires. Quelle est la probabilité pour chacun de gagner le combat ? Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucun survivant ? Combien de rounds peut-on s’attendre à ce que dure le combat ?

Solutions de Louis-Marie Bonneval (Poitiers), Pierre Carriquiry (Clichy), Laurent
Chéno (Lycée Dorian, Paris), François Couloigner (Tarbes), Frédéric de Ligt
(Montguyon), Michel Lafond (Dijon), Georges Lion (Wallis), Pierre Renfer (Saint-
Georges d’Orques), Christian Planchon (Marvejols), Sergio Leone (Almeria).

Quelques commentaires sur ce problème.

Problème 489-1

Pour n ∈ \(\mathbb{N}\)* , on note σ(n) la somme des diviseurs (dans \(\mathbb{N}\)*) de n. Si n est divisible
par 24, en est-il de même de σ(n − 1) ?

Solutions de Jean-Claude Carréga (Lyon), Bernard Collignon (Lycée Diderot de
Narbonne), Jean-Philippe Mouton-Mazerand (Talence), Joël Payen (Gagny),
Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Xavier Reliquet (Paris).

Problème 489-3 (Question de George Lion)

Soit \(\mathcal{E}\) une ellipse de centre O, de foyers F et F′, d’axes de longueurs 2a > 2b, inscrite
dans le parallélogramme ABB′A′, de point de contact avec (AB) noté M tel que

$$\frac{MA}{MB} = tan^2 \left( \frac{\widehat{A’AB}}{2} \right)$$

On note d = d(O,AB), c = OF, \(\mathcal{P}\) le cercle de centre O et de rayon a et D le point
d’intersection de (FF′) et de la perpendiculaire à (AB) menée par M.
1. Définir un cercle Γ, tangent à (AA′) et (BB′) et tangent extérieurement à \(\mathcal{E}\) en M. On note C et R le centre et le rayon de Γ et r = DM.
2. Démontrer ab = dR, puis OC = a + b, enfin \(\frac{r}R=\frac{b}{a}\)
3. On mène par M la perpendiculaire à (FF′) qui coupe \(\mathcal{P}\) en K du même côté de
(FF′). Montrer que les points O, K, C sont alignés.
4. Application : l’ellipse \(\mathcal{E}\) étant définie comme ci-dessus, donner une
construction géométrique de ses axes.

Solution de Georges Lion (Wallis)

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