Les côtés d’un triangle ont pour longueurs \(BC=a=39\), \(CA=b=40\), \(AB=c=25\). Vérifier que, dans ce triangle, l’angle \(B\) est double de l’angle \(C\). Plus généralement, quelle relation vérifient les côtés \(a\), \(b\), \(c\), d’un triangle dont l’angle \(B\) est double de l’angle \(C\) ? On s’efforcera de ramener cette relation à sa forme la plus simple, qui est : \(b^2=ac+c^2\)

Sur un cercle de centre $C$ et de rayon $R$, on marque deux points diamétralement opposés $O$ et $A$. On mène par $O$ une sécante $OM$ faisant avec $OA$ un angle égal à $\varphi$, coupant le cercle en $M$ et la tangente en $A$ en $P$. \beginenumerate \item \’Evaluer, en fonction de $R$ et de $\varphi$, $OM$, $MP$, $AP$. \item La tangente en $M$ perce $AP$ en $T$ ; montrer que $AT=TP=TM$. \item La droite $CM$ perce $AP$ en $Q$ ; évaluer $PQ$ et $MQ$ en fonction de $\varphi$. \endenumerate (...)

Un triangle \(abc\) dans le plan horizontal est déterminé comme il suit. Le pied \(d\) de la hauteur issue de \(a\) est entre \(b\) et \(c\), et l’on a : \(bd=6,4\) ; \(cd=3,6\), \(ad=2,4\).
Ce triangle est la projection d’un triangle rectangle \(Abc\) dont l’hypoténuse \(bc\) est dans le plan de projection.
Calculer la hauteur \(Ad\), la cote de \(A\), l’aire du triangle \(Abc\), l’angle du plan du triangle avec le plan de projection et les côtés de l’angle droit du (...)