1re Série (pour entrer en 1e année) : La récolte d’un champ de blé est achetée 430 francs avant d’être coupée. La moisson fournit 221 gerbes et nécessite 3 heures de travail d’une moissonneuse à 4 fr. 90 l’heure. Le transport et le battage coutent ensemble 41 fr. 50. Sachant que 5 gerbes produisent 25 litres de grain, calculer le prix de revient d’un hectolitre de blé. Un éleveur vend 3 bœufs et 20 moutons, et fait sur cette vente un bénéfice total de 1250 francs. Sur un bœuf, il gagne 10 fois plus que sur (...)

1re Série A et B (pour entrer en sixième) : Un marchand achète 7 barils d’huile d’olive de chacun 120 littres au prix de 950 francs les 100 kilogrammes. Il met cette huile dans des bidons contenant chacun 1 décalitre. Mais il a, sur les 7 barils, un déchet de 20 litres. Il revend l’huile à raison de 105 francs le bidon. Quel sera son bénéfice si un litre d’olive pèse 0 kg 915 ? Un hôteleir achète 8 barriques de vin pour une certaine somme. Si chaque barrique avait coûté 150 francs de moins, il aurait pu (...)

Étant donnée une demi-circonférence de diamètre $AB=2R$, on prend sur le prolongement du diamètre au delà du point $B$, un point $C$ tel que $BC=2R$.
Un point $M$ parcourt la demi-circonférence, soit $P$ sa projection sur $AB$ ; on pose $AP=x$. On fait tourner la figure autour de $AC$. Évaluer en fonction de $R$ et de $x$ les volumes $V_1$, $V_2$, $V_3$ engendrés respectivement par les triangles $AMP$, $CMP$, $BMP$. Vérifier que $V_2-V_1=2V_3$. Étudier la variation de la différence $V_2-V_1$, quand (...)

On donne deux demi-droites parallèles $Ax$ et $By$ perpendiculaires sur $AB$ (d’un même côté de $AB$) ; et sur $AB$ un point fixe $p$ entre $A$ et $B$. ($PA=a$, $BP=b$). On prend sur $Ax$ et $By$ deux segments $AA’=x$ et $BB’=y$. \’Etudier la variation de l’angle $\theta=A’PB’$ quand les deux segments varient de telle manière que $xy=m^2$ ($m$ étant une longueur donnée). Indiquer la nature de l’angle $\theta$ et déterminer le maximum ou le minimum de cet angle. $AB$ étant fixé et $m$ donné, peut-on (...)

Étant donné dans un plan un triangle $OAB$, dont un des deux angles à la base $AB$ est obtus (\textitl’angle $A$ d’après la figure), on déplace un mobile $P$ sur la droite $Oz$ perpendiculaire au plan de ce triangle et l’on considère l’angle $APB=V$ et sa tangente trigonométrique ; celle-ci étant regardée comme une fonction de la distance $OP=z$. Calculer la dérivée de cette fonction par rapport à cette variable. En déduire la condition pour que l’angle $APB$ décroisse immédiatement dès que le mobile $P$ (...)

Étant donnés un plan $P$ et deux points $A$ et $B$ situés d’un même côté et hors de ce plan. Trouver le lieu géométrique des points où les sphères passant par $A$ et $B$ et tangentes au plan $P$ touchent ce plan. Déterminer celle de ces sphères dont le point de contact fourni le point du plan $P$ duquel on voit le segment $AB$ sous l’angle le plus grand possible.

Soit $a$ un angle compris entre $\dfrac3\pi2$ et $2\pi$ et tel que $\texttg^2a=2$.
Calculer, sans se servir de tables de logarithmes, $\texttg\dfraca2$, $\sin\dfraca2$.

Dans une demi-circonférence donnée de rayon $R$, limitée par le diamètre $AB$, on mène une corde parallèle à ce diamètre ; soient $C$ et $D$ les extrémités de la corde, $O$ le point milieu de $AB$, $P$ le pied de la perpendiculaire menée de $O$ sur $CD$.
Désignant par $x$ l’angle $POD$, et posant $\sin x=t$, on exprimera en fonction de $R$ et de $t$ le volume engendré par la révolution de l’aire du trapèze convexe $ACDB$ autour de $AB$ ; puis, supposant variable l’angle $POD$, on étudiera la variation de (...)

On considère, dans le plan, un segment rectiligne de longueur $l$ ; par les deux extrémités, $A$, $B$, du segment, et par un point $M$, pris sur lui entre $A$ et $B$, on mène la droite $AB$, et d’un même côté de cette droite, trois perpendiculaires sur lesquelles on prend respectivement les longueurs
$$AC=AM,\ MD=AM,\ BE=2MB,$$
puis on joint $CD$ et $DE$.
Variation de la longueur de la ligne brisée $ACDEB$ lorsque le point $M$ prend toutes les positions possibles entre $A$ et $B$ ; valeur du (...)

Un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) $ABCD$ a deux arêtes opposées $AB$ et $CD$ horizontales et de même longueur $a$ ; leur plus courte distance est $h$ ; en outre, ce tétraèdre se projette sur un plan horizontal suivant un carré $ADBC$.
Calculer la surface $S$ totale et le volume $V$ de ce tétraèdre. \’Etudier les variations du rapport $\dfracVS$ quand $a$ restant fixe, $h$ varie.
(On pourra, d’une part, ramener les variations de $\dfracVS$ à celles de son carré, d’autre part, prendre $h^2$ (...)

Un point $M$ se déplace sur un quart de cercle $AB$ de centre $O$ et de rayon $R$. Calculer en fonction de l’angle $AOM=x$ la somme $y$ des aires des segments sous-tendus par les cordes $MA$, $MB$. Variations de $y$. Déterminer $M$ de façon que $y$ ait une valeur donnée $\dfrackR^22$. Discuter.
(Le candidat pourra donner une solution géométrique).

On donne deux sphères qui se coupent. Soit $OO’$ le diamètre commun ; soient $P$ et $P’$ les deux extrémités de ce diamètre appartenant à l’une des sphères et intérieures à l’autre ; Calculer la surface $S$ limitant le solide commun aux deux sphères, en fonction des rayons $R$ et $R’$ supposés donnés et de la distance $PP’=x$. On suppose $R’=3R$ et on pose $S=4\pi Ry$. \’Etudier la variation de la fonction $y$ de $x$ ainsi définie, quand $x$ varie de $-\infty$ à $+\infty$.
Tracer la graphique représentant (...)

Dans un triangle $ABC$, rectangle en $A$, on connait l’hypoténuse $BC=a$. Calculer les côtés de l’angle droit $b$, $c$, sachant que si l’on fait tourner le triangle autour de la parallèle à l’hypoténuse menée par $A$, l’aire engendrée par les côtés $AB$ et $AC$ est égale à $k$ fois l’aire engendrée par l’hypoténuse.
Entre quelles limites doit être compris le rapport $k$ pour que le problème soit possible, c’est-à-dire qu’il existe effectivement un triangle répondant aux conditions ?
Examiner les cas (...)

Sur un demi-cercle de diamètre $BC=2R$, on considère un point $A$ qui se projette en $H$ sur $BC$. Soient $BH=x$ et $V$ ke volume engendré par le triangle $ABH$ tournant autour de $BC$. Évaluer $V$ en fonction de $x$ et de $R$. Étudier la variation de la fonction $y=2x^2-x^3$. Construire la courbe représentant cette variation. Trouver à l’aide de ce qui précède, en supposant $R=1$, le nombre de positions de $A$ pour lesquelles $V$ prend une valeur donnée (...)

On donne deux cercles tangents intérieurement au point $A$, l’un de centre $O$ et de rayon $R\sqrt3$, l’autre de centre $O’$ et de rayon $R$. Soient $AP$ une corde du cercle $O$, $AQ$ une corde du cercle $O’$ perpendiculaire à la précédente.
Déterminer l’angle $OAP=x$ de telle façon que $AP+AQ=2Rm$, où $m$ désigne un nombre positif donné. Discuter. Valeurs de $x$ pour les valeurs remarquables de (...)

On donne l’équation :
$$(m-1)\texttg^2x+2m\texttgx+m+7=0$$
où $m$ désigne un nombre constant susceptible de prendre toutes les valeurs possibles. Pour quelles valeurs de $m$ cette équation a-t-elle des racine ? Pour quelles valeurs de $m$ les deux valeurs qu’elle donne pour $\texttgx$ sont-elles de signes contraires ? Quelle valeur particulière doit-on donner à $m$ pour que l’on ait entre deux solutions $x’$ et $x’’$ de l’équation la relation $x’=x’’+\dfrac\pi2$.
Déterminer dans ce cas les valeurs (...)

On donne une pyramide à base carrée $SABCD$ dont l’arête $SA$ est perpendiculaire au plan de la base. On trace dans le plan de la base une droite $MN$ parallèle à la diagonale $BD$ et située entre le point $A$ et le point $O$ de rencontre des diagonales et par $MN$ on mène un plan parallèle à $SA$. — Soient $BD=2d$, $SA=3d$, $AL=x$.
La figure montre le point $I$ à l’intersection de $MN$ et de $OA$. Calculer $AI=x$ pour que l’aire de la section $MNPQR$ faite dans la pyramide par le plan passant par (...)

On donne un angle droit $xOy$ et on marque à son intérieur un point $A$. On désignera la longueur $OA$ par $a$ et l’angle $xOA$ par $\theta$. On mène par le point $A$ la perpendiculaire à $OA$, elle coupe $Ox$ en $B$ et $Oy$ en $C$. Calculer en fonction de $a$ et de $\theta$ l’expression $\dfrac1\overlineOB^2+\dfrac1\overlineOC^2$. \’Etudier l’aire du triangle $OBC$ lorsque $a$ restant constant $\theta$ varie. Calculer $\theta$ de manière que $OB+OC=m.BC$, $m$ désignant un nombre positif donné — (...)