Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 507-1 (Michel Lafond (Dijon)) On dispose de n quilles (n ≥ 2) alignées tous les 15 cm. Un joueur adroit a une boule de 20 cm de diamètre. Il lance sa boule au hasard, tant que c’est possible, entre deux quilles consécutives encore debout et les renverse. Il renversera donc au plus $\fracn2$ paires de quilles. Soit $X_n$ le nombre de paires de quilles renversées et $E_n= E(X_n)$ son espérance mathématique. Démontrer que lorsque n tend vers l’infini, (...)

Solutions des problèmes antérieurs
Énoncés du problème n°306 (Pierre PARO, 83-Saint-Raphaël)
Une droite (\(\Delta\)) coupe en \(\alpha, \beta, \gamma\) les trois côtés (BC), (CA) et (AB) d’un triangle ABC. Soient A′, B′, C′ les projections orthogonales de A, B, C sur (\(\Delta\)). Montrer que
la droite (\(\Delta\)) est une droite de Simson relativement au triangle ABC si et seulement si les segments [A′\(\alpha\)], [B′ \(\beta\)] et [C′\(\gamma\)] ont même milieu.
SOLUTION (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 506–1 (Jean-Louis Trinquand (Clermont-Ferrand))
Soit f : $\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ telle que f (1) > 0 et pour tous $m, n \in \mathbb N,$ $$f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2$$ Trouver f .
Problème 506–2 (Michel Lafond (Dijon))
Montrer que l’on définit une bijection de $\mathbb N^3$ dans $\mathbb N$ en posant $$f(a,b,c)=\frac16 \left[ (a+b+c)^3+3(a+b+c)^2+3(b+c)^2+2a+5b+11c) \right] $$
Problème 506–3 (George Gras (Le Bourg d’Oisans))
Soit p un nombre (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 495-1 Pour $n \in \mathbb N^*$, on note classiquement $\mathcalU_n$ l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité, à savoir l’ensemble des complexes z tels que $z^n = 1$. Étudier, selon les valeurs de n, l’existence d’une application $f : \mathcalU_n \rightarrow \mathcalU_n$ telle que, pour tout $z \in \mathcalU_n$, $$f \circ f(z)=z^2$$
Je remercie Philippe Patte d’avoir attiré mon attention sur le problème suivant, inspiré d’un oral de Centrale 2010.
Problème (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 494–1
Soit $n \in \mathbbN^*$ et $P \in \mathbbZ[X]$ tels que l’équation $$|P(k)|=1$$ admette n racines distinctes dans $ \mathbbZ$. Montrer que $$n-\textdeg(P) \le 2$$
voir l’article où est publiée la solution
Problème 494–2 (Question de Jean-Christophe Laugier)
Démontrer, de manière combinatoire si possible, l’égalité suivante, valable pour tous les entiers n, k supérieurs ou égaux à 1 : $$\sum_\substacku_1+u_2+...+u_k=n \ u_1,u_2,...u_k \in \mathbbN^*^n (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 485-1 (Olympiades internationales 2009)
Soit n un entier strictement positif et soit $a_1, \dots, a_k$, avec k ≥ 2, des entiers distincts appartenant à l’ensemble $$ tels que n divise $a_i(a_i+1-1)$ pour $i \in $. Montrer que n ne divise pas $a_k(a_1-1)$
voir l’article où est publiée la solution
Problème 485-2 (Olympiades internationales 2009)
Soit ABC un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. Les points P et Q sont des points intérieurs aux (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 491 - 1
Soit F la suite de Fibonacci définie par $F_0= 0, F_1= 1$ et $F_n+2= F_n+1+ F_n$. Montrer que pour n ≥ 1, $$\prod_k=1^n F_k\le \frac1n !\exp(F_n+4-2n-2)$$
voir l’article où est publiée la solution
Problème 491 - 2 (Question de Fernand Canonico)
Soit P un polynôme complexe de degré n ≥ 1. Pour $\omega \in \mathbb C$, soit $v_\omega$ le nombre de solutions complexes de l’équation $P(z) = \omega$. Montrer que $$\sum_\omega \in \mathbb C(n-v_\omega)=n-1$$ (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 505–1 (Michel Bataille (Rouen)) Montrer que si a, b, c sont des réels strictement positifs vérifiant abc = 1, alors $$2+\frac3a+b+c \le \frac1a + \frac1b+ \frac1c \le \frac34 + \frac(a+b+c)^24$$
Problème 505–2 (Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)) Après une soirée dans un pub, n lords récupèrent leurs chapeaux au vestiaire de façon aléatoire. À la sortie du pub, la fraîcheur de la nuit leur permet de retrouver un peu leurs esprits et ils décident de continuer la (...)

Énoncés des nouveaux problèmes Problème 504–1 (Moubinool Omarjee (Lycée Henri IV Paris)) On note $ \lfloor \ \ \ \rfloor$ la fonction partie entière et, pour $n \in \mathbb N$*, $p_n$ est le n-ième nombre premier. Étudier la nature de la série $$\sum_\limitsn \ge 1 \frac(-1)^\lfloor n \sqrt 2 \rfloorp_n$$
Problème 504–2 (Ghali Lalami (Marrakech)) Trouver tous les $n \in \mathbb N$ tels que $3^n - 2$ soit un carré parfait.
Problème 504–3 (Franck Gautier (Pérignat Lès Sarlieves)) On désigne par (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 503–1 (Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg)) Démontrer les formules trigonométriques suivantes et en proposer d’autres : $$ \tan\left( \frac3 \pi7\right) - 4\sin\left( \frac\pi7\right)=\sqrt 7 ;$$ $$ \tan\left( \frac3 \pi11\right) + 4\sin\left( \frac2 \pi11\right)=\sqrt 11 ;$$ $$ \tan\left( \frac5 \pi19\right) + 4\sin\left( \frac2 \pi19\right)- 4\sin\left( \frac3 \pi19\right)+ 4\sin\left( \frac8 \pi19\right)=\sqrt 19 ;$$
voir l’article où est publiée une (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 502–1 (Gauthier Gidel, Alexandre Benchaouine, Benoît Joly) Soit $n \in \mathbb N$* , $x_1, …, x_n$ des réels strictement positifs et $p_1, …, p_n$ des réels strictement positifs de somme 1. Pour tous les réels S et t vérifiant, pour tout $i \in $, $$S \le \sqrtx_i \le S+t$$ montrer que $$\frac1\sum_\limitsi=1^n \fracp_ix_i \le \sum_\limitsi=1^n p_i x_i \le \frac1\sum_\limitsi=1^n \fracp_ix_i + t^2$$
voir l’article où est publiée la solution
Problème (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 496-1 (Michel Lafond) Un triangle a un périmètre p et une aire $\mathcal A$. Montrer que chaque côté du triangle mesure au plus $$\fracp6 \left( 1+2 \cos \left( \frac13 \arccos \left( 1 - \frac864 \mathcal A ^2p^4 \right) \right) \right)$$
voir l’article où est publiée la solution
Problème 496-2
Pour $n \in \mathbb N$ et $k \in [ 0, n ]$, on note $\binomnk$ le coefficient binomial $\fracn !k !(n-k) !$. Pour tout nombre premier p, établir les (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 493-1 soit $(a_n)_n \ge 1$ une suite de réels tels que pour tout $i,j \in \mathbb N^*, a_i+j \le a_i+a_j$ Montrer que pour tout $n \in \mathbb N^*$ $$\sum_i=1^n \fraca_kk \ge a_n$$
voir l’article où est publiée la solution
Problème 493–2 (Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg)) Dans le plan euclidien, soit $\Gamma$ un cercle de centre O, et soit U et V deux points distincts, alignés avec le centre O. À partir d’un point A du cercle $\Gamma$, on (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 497 - 1 (Fernand Canonico)
Caractériser (par exemple par leurs valuations p-adiques) les entiers pouvant s’écrire $2a^2 + 3b^2$ avec $a, b \in \mathbb N$ .
voir l’article où est publiée la solution
Problème 497 - 2 (Pascale De Jonghe)
Soit $(u_n)_n\in \mathbb N$ une suite complexe et R un réel, R > 1. On suppose que la suite $ (Ru_n+1-u_n)_n \in \mathbb N$ converge vers $ l \in \mathbb C$ quand n tend vers $+\infty$. Étudier la convergence de la (...)

Énoncés des nouveaux problèmes Problème 499 - 1 (Michel Lafond (Dijon))
On pose $a_0= 0, a_1= 1$ et pour $n \in \mathbb N^*$ , $a_2n=a_n$ et $a_2n+1= a_n + a_n+1$. Montrer que pour $n \in \mathbb N$, on a $a_n \le n^0.695$. Montrer qu’il existe une infinité d’entiers naturels $n \in \mathbb N$ tels que $a_2n \ge n^0.694$.
voir l’article où est publiée une solution
Problème 499 - 2 (Xavier Reliquet (Paris)) Tout sous-corps de $\mathbb C$ est-il stable par conjugaison ?
voir l’article où est (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 498 - 1 (Michel Lafond (Dijon))
Un entier naturel est dit « quarrable » s’il est la somme des chiffres d’un carré parfait (en base 10). Par exemple, l’entier 22 est quarrable puisque $$22=5+4+7+6 \ \ \ \ \textet \ \ \ \ 5476=74^2$$ Caractériser la suite (0, 1, 4, 7, 9, 10, 13, …) des entiers quarrables.
voir l’article où est publiée une solution
Problème 498 - 2 (Georges Kocher (Ravières))
Pour trois réels strictement positifs a, b, c dont la somme vaut 1, (...)

Les propositions de problèmes, solutions ou commentaires, sont à envoyer à
Max HOCHART 13, rue des Garennes 63800 Cournon d’Auvergne
ou par courriel à
hochartmax@yahoo.fr
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 489-1
Pour n ∈ $\mathbbN$* , on note σ(n) la somme des diviseurs (dans $\mathbbN$*) de n. Si n est divisible par 24, en est-il de même de σ(n − 1) ?
voir l’article où est publiée la solution
Problème 489-2 (Question de Fernand Canonico)
Soit n un entier strictement positif. Pour $(u_1, ..., (...)