Indications sur des énoncés déjà publiés
Énoncé 300 (si $\sum a(d) = 2^n , a(n)$ est divisible par $n$) : Soit $p$ un facteur premier de $n$…
Énoncé 301 ($f (\alpha) f(\beta) f(\gamma) = f (\alpha) + f (\beta) + f (\gamma)$ si $ \alpha+\beta +\gamma=\pi$) : Utilisons la fonction tangente...
Énoncé 302 (101 pièces … toutes de même masse ?) : Quel est le rang de la matrice ?
Énoncés des nouveaux problèmes
Énoncé n°303 (R. FERACHOGLOU et M. LAFOND, 21-Dijon) Soit (Q) un quadrilatère plan convexe, (...)

Indications sur des énoncés déjà publiés Énoncé 303 (médianes d’un quadrilatère : 5 ≤ aire(Q) /aire(q) < 6) :
Le rapport vaut 5 si le petit quadrilatère q est un trapèze, il tend vers 6 si Q et q tendent vers des triangles.
Énoncé 304 ($ 2x^2 + 1 = y^ n $) :
Peut-on factoriser le premier membre ?
Énoncés des nouveaux problèmes Énoncé n°305 (Pierre DUCHET, 75-Paris) En appelant « sphinx » et « parallélogramme » les deux formes que voici : a) Peut-on paver complètement un triangle équilatéral, de côté (...)

Solutions des problèmes antérieurs
Problème n°280 (Dominique ROUX, 87 - Limoges) Soit S l’ensemble des entiers k ≥ 2 tels qu’il existe k entiers consécutifs, (n + 1),
(n + 2), ..., (n + k), n ≥ 0, dont la somme des carrés soit un carré parfait :
$$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (n + k)^2 = m^2$$
a) Montrer que l’ensemble S est infini, et qu’il existe une infinité d’entiers qui n’appartiennent pas à S b) Montrer qu’il existe des entiers k ∈ S tels que l’équation :
$$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 (...)

Solutions des problèmes antérieurs Problème n°280 (Dominique ROUX, 87 - Limoges) Soit S l’ensemble des entiers k ≥ 2 tels qu’il existe k entiers consécutifs, (n + 1), (n + 2), ..., (n + k), n ≥ 0, dont la somme des carrés soit un carré parfait : $$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (n + k)^2 = m^2$$ a) Montrer que l’ensemble S est infini, et qu’il existe une infinité d’entiers qui n’appartiennent pas à S b) Montrer qu’il existe des entiers k ∈ S tels que l’équation : $$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (...)

Solutions des problèmes antérieurs
Problème n°281 (Moubinool OMARJEE, 75 - Paris) Soit une série convergente, de terme général \(\alpha_n\), de somme S. Montrer qu’il existe une suite croissante \((k_n)\) d’entiers naturels, qui tende vers l’infini lorsque n tend vers l’infini, et telle que la série de terme général \(k_n\alpha_n\) soit convergente.
SOLUTION
Problème n°282 (Raymond PRUDHOMME, 76 - lsneauville) Soit ABC un triangle et ( Γ ) son cercle circonscrit. Les bissectrices (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème n°293 (Pierre BORNSZTEIN, 95 - Pontoise) Initialement, n oiseaux se trouvent chacun à un sommet d’un polygone régulier à n côtés. Lorsqu’ils sont apeurés, ces oiseaux s’envolent. Puis, après quelque temps, ils reviennent se poser un sur chaque sommet du polygone, mais pas nécessairement sur leurs positions initiales. Trouver tous les n > 0 pour lesquels il existe nécessairement trois oiseaux qui, avant et après l’envol, forment deux triangles tous deux (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème n°295 (Michel LAFOND, 21-Dijon) Démontrer que le nombre de triangles inégaux de périmètre n à côtés entiers et non aplatis est égal au nombre de manières de payer (n − 3) euros avec des pièces de 2, 3 ou 4 euros.
voir l’article où est publiée une solution
Problème n°296 (Raymond RAYNAUD, 04-Digne) Les parallèles à une droite (d) menées par les sommets d’un triangle ABC recoupent respectivement son cercle circonscrit en A′ , B′ , C′. P étant un (...)

François LO JACOMO Indications sur des énoncés déjà publiés Énoncé n°305 (pavage par des sphinx ou des parallélogrammes) : a) seuls sont pavables par des sphinx les triangles de côté multiple de 12. b) dans un hexagone de côté 3, on peut mettre au plus 12 parallélogrammes.
Énoncé n°306 (une caractérisation des droites de Simson) : Quelle méthode recommander ? que les droites de Simson relatives à ABC sont les asymptotes des hyperboles équilatères passant par A, B et C ?
Énoncés des nouveaux problèmes (...)

Solutions des problèmes antérieurs
Problème 287 (Pierre SAMUEL, 92-Bourg la Reine) À tout polynôme \(P(w) = aw^2 + 2bw + c \ \ \ (a, b, c \in \mathbb Z, a > 0, 0 ≤ b < a)\) on associe
l’équation : \(x^2 − ay^2 = b^2 − ac\).
1 – Toute équation (E) : \(x^2 − ay^2 = k \ \ \ (a, k \in \mathbb Z, a > 0)\) est-elle associée à des polynômes P(w) et à combien (commencer par le cas où a est premier avec k) ?
2 – Quelles relations y a-t-il entre les solutions entières (x, y) de (E) et les valeurs (...)

Solutions des problèmes antérieurs
Problème 288 (Philippe DELEHAM, 97-Ouangani)
Deux cercles \((C_1)\) et \((C_2)\) se coupent en A et B. La tangente à \((C_1)\) en A coupe \((C_2)\) en C. La tangente à \((C_2)\) en B coupe \((C_1)\) en D. La droite (CD) coupe \((C_1)\) en E et \((C_2)\) en F. Montrer que
$$\frac1FB^2+\frac1BD^2+\frac1DA^2=\frac1EA^2+\frac1AC^2+\frac1CB^2$$
Télécharger la solution (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème n°297 (Jacques BOUTELOUP, 76-Rouen) On considère quatre cercles du plan tangents deux à deux en des points distincts. 1) Démontrer que trois d’entre eux sont tangents extérieurement deux à deux, le quatrième étant soit tangent extérieurement, soit tangent intérieurement à chacun des trois autres. 2) On désigne par $z_i$ les affixes des centres dans une représentation complexe du plan euclidien, par $r_i$ leurs rayons et l’on pose $c_i= - \frac1r_i$ (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 512-1 (Michel Lafond (Dijon)) Le nombre N ! écrit en base dix se termine par un huit suivi d’exactement mille zéros. Que vaut N ?
voir l’article où est publiée une solution
Problème 512-2 Dans le probleme 21 posé dans un bulletin vert en 2006, on démontre que les solutions rationnelles de l’équation $x^y = y^x$ avec x < y sont données par $$x=\left(\fracn+1n\right)^n \text et y=\left(\fracn+1n\right)^n+1$$ avec n $\in \mathbb N$. On pose (...)

Indications sur des énoncés déjà publiés
Énoncé 307 (peser avec une balance Roberval) : 3 poids suffisent pour M = 13 (on rappelle que les poids peuvent être placés sur les deux plateaux de la balance).
Énoncé 308 (composé de rotations axiales d’un tiers ou quart de tour) : Que peut-on dire des grandes diagonales d’un cube ?
Énoncé 309 (triangle dont l’orthocentre est centre du cercle inscrit de ABC) : Ce même point est l’orthocentre d’un autre triangle et le centre d’une similitude (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 511-1 Trouver tous les polynômes scindés sur $\mathbb R$ et à coefficients dans $\–1,0,1\$.
Problème 511–2 (Michel Lafond (Dijon)) Soit Q un quadrilatere convexe non aplati. Deux côtes opposés de Q mesurent a et c. La médiane joignant les milieux des deux autres côtés mesure b. Démontrer que si $b^2=\fraca^23+c^2$, alors Q est un trapèze.
Problème 511–3 Une application f : $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ transformant tout segment en segment est-elle (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 510-1 (Michel Bataille, Rouen) Soit ABC un triangle rectangle en A, non isocèle. Trouver la valeur minimale de PA lorsque P est un point intérieur au triangle tel que $$\fracPA\sin \alpha=\frac12\sqrt\fracPB\sin \beta \fracPC\sin \gamma $$
où $$\alpha=\widehatBPC, \beta=\widehatCPA, \gamma=\widehatAPB$$
voir l’article où est publiée une solution
Problème 510-2 Soit $n \in \mathbb N^*$. On se donne n réels $x_1, …, x_n$, tous distincts. Montrer que pour tout (...)

Indications sur des énoncés déjà publiés Énoncé n° 310 (entiers magiques) : Que pourrait valoir $c$ pour $n = 7$ ? Énoncé n° 311 (ex-voto japonais) : Que peut-on dire de $ tan(\frac\widehatOA_iA_i+12$) ?
Énoncés des nouveaux problèmes
Enoncé n° 312 (Pierre JULLIEN, 13-Meyreuil) Soit dans le plan quatre points A, B, C et D tels que AB = CD (égalités de longueurs). On note M le milieu de [AD] et N le milieu de [BC]. Montrer que la droite (MN) coupe les droites (AB) et (CD) sous le même angle. voir le BV où (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 509-1 Soit f,g : $\mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R$ deux fonctions intégrables sur $\mathbb R^*_+$. Montrer que la fonction $$(x,y) \mapsto \fracf(x)g(x)x+y$$ est intégrable sur $\mathbb R^*_+ \times \mathbb R^*_+$ et trouver la meilleure constante C>0 telle que $$ \left | \iint_]0,+\infty[ \times ]0,+\infty \fracf(x)g(x)x+y dxdy \right 0,+\infty[ f(x)^2 dx\sqrt\int_]0,+\infty[ g(y)^2 dy$$
voir l’article où est publiée une solution
Problème 509–2 (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 508-1 On considère une application f : $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ qui envoie tout segment de $\mathbb R$ sur un segment de même longueur. Trouver f.
voir l’article où est publiée une solution
Problème 508-2 (Isao Sauzzede, élève en MP à Clermont-Ferrand) Soit $E = \mathcal C$ ([0 ; 1], $\mathbb R$ ) l’ensemble des applications réelles continues sur [0,1]. On définit une application $\tau$ : $E \rightarrow E$ de la façon suivante : pour $f \in E$, $$ \tau (...)