André Warusfel Résumé Pourquoi un nombre entier de noyaux non encore désintégrés est-il bien représenté par une formule sous forme d’une fonction exponentielle du temps qui a très peu de chances de donner des résultats entiers ? Après présentation de la démarche traditionnelle, la parole est donnée au physicien, puis au probabiliste. Deux modélisations possibles amènent à une loi binomiale ou une loi de Poisson. Plusieurs annexes présentent le passage à la conjecture, le problème différentiel, et le (...)

Daniel Duverney
Résumé de l’article Les diverses réformes entreprises depuis 1989 pour redonner “égale dignité" à toutes les filières ont toutes échoué. Le dernier rapport de l’Inspection Générale sur la voie scientifique, remis en janvier 2008 préconise la suppression des trois voies pour un tronc commun assorti d’un système d’options. Trois motifs sont invoqués pour supprimer la voie scientifique : la hiérarchisation des séries, les difficultés du choix d’orientation des élèves à la sortie de la seconde, (...)

Bouttier Luc ; Zaidenberg Mikhail Résumé de l’article
Le problème de Sylvester énonce que, étant donné une famille finie P de points du plan non tous alignés, il existe toujours une droite qui passe par 2 points de P et pas plus. Posé par Sylvester en 1893, il a été résolu en 1943. L’article en propose plusieurs solutions, par l’angle Minimal (Gallai) par la distance minimale (Kelly), par la relation d’ordre (Steinberg), enfin par le problème de Sylvester dual. L’épilogue cite quelques généralisations, (...)

Résumé de l’article L’auteur part de l’algorithme de la « preuve par 9 » et remplace la somme des chiffres par la somme de leurs carrés, puis réitère le processus. Il étudie alors le comportement de la suite des nombres successifs. L’objet de l’article est de montrer que, soit la suite se stabilise à la valeur 1 au bout d’un certain temps, soit elle est périodique à partir d’un certain rang. L’auteur adopte les deux points de vue du bricoleur rétro et du fanatique de l’ordinateur. Ensuite il généralise à la (...)

Résumé de l’article Cet article est une « narration de recherche » qui la solution d’un problème est bien souvent issue d’un « parcours tortueux, avec impasses et raccourcis, nourri par les échanges ». L’idée de départ est d’appliquer la méthode d’Euler à l’aide du logiciel Cabri II Plus, en utilisant de façon répétée une « macro ». L’équation à traiter : y’=ln(y). Après expérimentation préliminaire et conjecture, suivent la recherche théorique des solutions, et une première vérification expérimentale. Un autre (...)

Résumé de l’article Combien peut-on placer dans un disque donné des petits cercles n’ayant entre eux au plus qu’un point commun ? Après avoir donné deux interprétations mathématiques précises du problème, l’auteur résout les cas les plus simples par des méthodes ne dépassant pas la classe de première. Après avoir défini les ensembles de n points d’un disque d’espacement au moins égal à une valeur d la plus élevée possible, qu’il dénomme « ensemble optimal », il étudie les cas particuliers où n prend les valeurs (...)

Résumé de l’article Dès qu’Euclide eut énoncé son cinquième postulat, on a trouvé sa formulation complexe. Certains ont voulu le remplacer par un énoncé plus simple (ex : Par un point extérieur à une droite on peut tracer une et une seule parallèle à cette droite). D’autres ont pensé qu’il devait avoir rang de théorème, et ont donc cherché à le démontrer : sa négation devait aboutir à une contradiction. On n’a pas trouvé de contradiction, mais cette négation entraînait des propiétés géométriques « incroyables », (...)

Résumé de l’article Les « mathématiques modernes » n’avaient pas de rapport au réel. En 1986, la question de la pertinence de ces mathématiques a conduit aux nouveaux programmes privilégiant les problèmes réels et la démarche expérimentale, en mettant les élèves en situation d’activité. En mathématique, la modélisation est une « représentation » au sens de nouvelle description liée au modèle choisi. La géométrie est une première modélisation, géométrie euclidienne, géométrie sphérique selon le cas. On distingue (...)

Carral Michel
Résumé de l’article L’auteur étudie comment, en géométrie on passe de la lecture de l’énoncé à la réalisation de la figure à étudier et il remarque l’évolution des énoncés et de leur traitement dans le temps. Pour éclairer ses dires, il se propose de traiter un exercice dont la difficulté consiste à résoudre des points d’incidence et des relations topologiques pour concevoir correctement la configuration bien que les savoirs mathématiques mis en jeu ne soient que des connaissances de base collège. (...)

Résumé de l’article Ce texte est un manuscrit écrit par Henri Bareil en novembre 1988 et retrouvé dans ses archives après son décès. Une figure géométrique est un « support d’exemple » qui doit permettre d’aller du « Particulier à l’Universel ». Une figure-exemple peut permettre selon le cas, de conduire à des conjectures ou à produire des contre-exemples, mais il faut rester méfiant, en particulier à cause de tracés approximatifs, ou des cas particuliers. Il faut rester prudent dans la perception des figures, (...)

Raoult Jean-Pierre
Résumé de l’article Les probabilités et la statistique, qui ont pris un rôle si important dans la société actuelle, concernent presque toutes les disciplines, mais les professeurs de mathématiques se trouvent particulièrement impliqués. _ L’introduction des probabilités dès la troisième, puis en seconde à amené l’APMEP à déployer de nombreux efforts pour aider les collègues à appliquer ces nouveaux programmes, et à continuer la réflexion à plus longue portée, l’objectif étant d’armer le (...)

Dowek Gilles ; Archambault Jean-Pierre
Résumé de l’article L’article présente deux interventions au séminaire de l’APMEP des 16-17 mai 2009 concernant l’introduction éventuelle de l’enseignement de l’informatique au lycée. Pour Jean-Pierre Archambault, si un consensus s’est progressivement dégagé sur l’idée que l’informatique est désormais une composante de la culture générale, l’enjeu est de former des créateurs et pas de utilisateurs « presse-boutons ». L’apprentissage initial peut, bien sûr, se faire à (...)

Jean-Pierre Kahane
Résumé de l’article Cet article est le texte de la conférence inaugurale des Journées Nationales APMEP de Rouen (samedi 24 octobre 2009) : « La lumière et les ombres, quel rapport avec les mathématiques financières ? » La crise financière récente a ébranlé le monde. Mais qui est responsable ? Que des professeurs de mathématiques forment suffisamment leurs étudiants pour accéder à des métiers rémunérateurs de la finance ne les rend pas responsables de l’utilisation qui en est faite. Les (...)

Résumé de l’article L’auteur a trouvé sur internet les « nombres d’argent » qui, pour n entier, vérifient l’équation x^2-nx-1=0 parmi lesquels se trouve le nombre d’or (pour n=5). La généralisation de cette équation donne d’autres nombres appelés aussi argentés. Il en distingue un qui provient d’une équation du 3ème degré dont les coefficients sont 1 pour le premier et -1 pour les autres. Il l’appelle nombre de platine. Ces systèmes d’équations ont une source géométrique qui a un certain rapport avec le gnomon (...)

Mathias Front et Pierre Legrand
Résumé de l’article Les pavages sont une source inépuisable de travaux en classe. L’article porte sur les pavages semi-réguliers archimédiens. Il ne fournit pas clé en main un thème d’activités, mais il apporte au lecteur des éléments lui permettant d’élaborer ses propres sujets. Il donne d’abord la définition d’un pavage semi-régulier (un point commun à 2 polygones est un sommet des deux polygones, c’est un noeud ; une intersection est un côté commun et la configuration en (...)

Résumé de l’article Cet article est le second volet de l’article du même auteur paru dans un précédent bulletin sur « le délicat rapport mathématiques-réalité ». Il nous fait pénétrer dans le monde de "l’information"et de « l’incertitude » et de leur modélisation à travers les mondes des statistiques et des probabilités. Les deux modèles de départ sont le modèle additif (comparaison absolue) et le modèle proportionnel (comparaison relative) plus riche avec ses registres numérique, algébrique, fonctionnel, (...)

Michel Lafond Résumé de l’article
Dans cet article, on étudie divers aspects combinatoires du jeu « Le compte est bon ». Le rappel de l’historique et de la règle du jeu est suivi de l’algorithme pour décider si un jeu est favorable ou non, et du calcul de la probabilité d’avoir un tirage aléatoire favorable, que l’auteur trouve égal à environ 0,94. Les nombreux exemples cités permettent des travaux dans les classes : calcul mental ou simple divertissement mathématique. Plan de l’article Rappel historique (...)

Résumé de l’article
L’équidécomposabilité des polygones plans est en pratique la résolution du problème : étant donnés plusieurs polygones plans de même aire, les découper chacun selon les mêmes parties triangulaires ou polygonales en nombre fini. L’article en donne quelques exemples (triangle, carré, rectangle, pentagone. Il définit l’équidécomposabilité selon un groupe d’isométrie G, puis la met en évidence à l’aide de parallèles pour les triangles de même aire. Pour les quadrilatères, il se restreint aux (...)