Pour chercher et approfondir
Le théorème fondamental de l’algèbre Résumé de l’article
Le théorème fondamental de l’algèbre, qui affirme que tout polynôme admet au moins une racine complexe, est souvent mentionnée comme excessivement difficile à démontrer et inaccessible aux étudiants. Or, de nombreuses démonstrations sont possibles généralement basées sur les techniques et résultats concernant les fonctions de la variable complexe. L’auteur présente ici une démonstration faisant appel au calcul différentiel et l’optimisation. Après avoir détaillé le socle commun de (...)Géométrie et arithmétique Fresnel Jean Résumé de l’article
L’objet de cet article est de présenter quelques problèmes à l’énoncé compréhensible par des professeurs de lycées et collèges dont les solutions, lorsqu’elles existent, nécessitent des résultats mathématiques contemporains. Il s’agit de problèmes en apparence de nature géométrique pour lesquels l’arithmétique intervient de façon profonde. La première partie concerne la recherche de distances ou longueurs « rationnelles », la seconde la recherche de « nombres congruents ». Plan de (...)Un logiciel utilisant le calcul formel pour le lycée Le Feuvre Bernard ; Meyrier Xavier ; Vincent Pascal ; Lagrange Jean-Baptiste
Résumé de l’article Le calcul formel est peu utilisé et exploité au lycée. Dans les programmes et instructions, son statut est incertain. Les possibilités qu’offre le calcul formel ne sont pas clairement identifiées et les enseignants sont souvent réticents à les exploiter. « Comment intégrer des outils de calcul formel dans un cours de mathématiques au lycée ? ». Le groupe INRP-IREM de Rennes travaille depuis plusieurs années (...)Développante de cercle et engrenages. Résumé de l’article
La développante de cercle intervient en mécanique. L’article en propose une approche de niveau collège qui permette de comprendre pourquoi les dents des engrenages ont un profil en développante de cercle et pourquoi cette courbe permet de construire des engrenages paradoxaux qui engrènent en tournant dans le même sens. L’approche se fait à l’aide d’une bobine de fil et un crayon attaché à l’extrémité du fil. Après l’étude de l’engrenage hélicoïdal et des engrenages paradoxaux, des (...)Découvrir l’exponentielle et le logarithme avec Cabri-Géomètre Résumé de l’article L’article montre que l’utilisation « expérimentale » des nouveaux moyens de calcul permet non seulement d’introduire l’exponentielle et le logarithme, mais donne aussi la possibilité d’aller plus loin. L’auteur fait l’étude avec le logiciel Cabri-Géomètre et conjecture les principales propriétés des deux fonctions, ainsi que leur « parenté ». Puis après être passé par l’équation fonctionnelle du logarithme, il donne les équations différentielles dont sont solutions les deux fonctions, présente (...)
Étonnante précision de la méthode des moindres carrés Junca Stéphane Résumé de l’article
L’auteur a expérimenté la méthode des moindres carrés sur des nuages de points fabriqués à l’avance sur le modèle linéaire - grâce à une calculatrice - avec des « perturbations » plus ou moins importantes et il a remarqué une étonnante stabilité de la méthode des moindres carrés, que les perturbations soient déterministes ou aléatoires indépendantes. Il a travaillé sur des séries chronologiques variées, sur des suites de variables de Bernoulli indépendantes. Il a étudié le (...)Préambule à l’article « Un logiciel utilisant le calcul formel pour le lycée » L’article qui suit, Un logiciel utilisant le calcul formel pour le lycée, est proposé par une équipe IREM-INRP de Rennes. Il présente l’utilisation d’un logiciel de calcul formel pour aider les élèves à résoudre des problèmes.
La Commission du Bulletin a été intéressée par la démarche des auteurs. Face aux difficultés que rencontre l’enseignement des mathématiques, ils mènent une recherche d’envergure pour les faire comprendre au plus grand nombre. Leur volonté affirmée d’intégrer la technologie à ces (...)Achille ne rattrapera jamais la tortue Résumé de l’article
Après une rapide biographie de Zénon, homme politique et philosophe, l’auteur présente la question initiale : Le temps et l’espace sont-ils continus ou composés d’atomes ? Puis l’auteur présente les 4 arguments de Zénon contre le mouvement, rapportés par Aristote dans la Physique. C’est l’impossibilité à penser de façon cohérente une théorie du mouvement que Zénon voulait montrer. Les 4 paradoxes de Zénon sont la dichotomie (le mouvement ne peut commencer), l’Achille (le plus lent ne peut (...)L’enseignement des mathématiques en Finlande Jost Rémy
Résumé de l’article Les spécificités de la société finlandaise, de son système éducatif et de son système d’évaluation créent largement les conditions de la réussite des élèves finlandais aux évaluations internationales, notamment en mathématiques. C’est pourquoi l’auteur en brosse un tableau général avant de présenter et analyser les caractéristiques de l’enseignement des mathématiques et d’émettre des hypothèses sur les raisons de la réussite des élèves finlandais aux évaluations internationales PISA (...)Constructions géométriques par intersection de coniques (I) Jean-Marie Arnaudiès &Pierre Delezoïde
Résumé de l’article Certains problèmes d’origine géométrique qui ne sont pas résolubles avec la règle et le compas peuvent l’être en autorisant l’utilisation des coniques. Plusieurs exemples issus de la géométrie grecque : la duplication du cube, la trisection de l’angle, la construction de la racine cubique, la normale à la parabole. La réflexion sur un miroir circulaire a aussi été résolue par Huygens à l’aide d’intersection de coniques. Les derniers exemples (...)Quelques calculs de probabilités dans la vie courante Robert Ferréol Résumé de l’article
Les problèmes mathématiques posés de façon concrète sont en général des problèmes abstraits ayant reçu un habillage. L’auteur propose ici de vrais problèmes qu’il s’est posé dans la vie courante. Il s’appuie pour les résoudre sur deux propriétés naturelles reliant les probabilités et les espérances.
Les thèmes abordés concernent la consultation d’un dictionnaire en 15 volumes, une loterie, un jeu de cartes similaire au « pouilleux », et le remplissage d’un carton de loto. Lors (...)Constructions géométriques par intersections de coniques (II) Jean-Marie Arnaudiès & Pierre Delezoïde
Résumé de l’article Cet article est la suite de l’article du même nom publié dans le bulletin précédent.
Il a pour objectif principal de distinguer les angles qui sont trisecables à la règle et au compas de ceux qui ne le sont pas. Une figure étant déterminée par un ensemble de points initiaux, on se pose la question de savoir si tel point déterminé à partir des points initiaux est constructible à la règle et au compas. Après quelques définitions et propriétés (...)Alcoolémie et proportionnalité Résumé de l’article
L’auteur a repéré dans un magazine la confusion d’un journaliste entre la notion de proportionnalité et celle de croissance d’une fonction...La phrase concernait le lien entre le risque d’accident et la consommation d’alcool du conducteur. L’auteur en profite pour proposer quelques exercices sur la question que l’on pourra proposer aux élèves, peut-être en préparation à l’attestation de sécurité routière, avec comme deuxième objectif d’habituer les élèves à lire d’un oeil critique ce qui (...)Problèmes de robinet, problèmes de retraite Résumé de l’article
L’auteur propose et nous fait comparer deux problèmes, l’un relatif à la durée de l’écoulement de l’eau d’une baignoire dont la bonde fuit légèrement,(plus ou moins) et l’autre relatif au flux de départ à la retraite, dans une république imaginaire, suivant la durée d’activité (37,5 années ou 42 années) et l’âge de départ à la retraite.
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L’auteur analyse le contenu des inégalités triangulaires et les confusions que peuvent entraîner la traduction de la formulation mathématique en formulation en langue « française ». Toutes les situations ne se prêtent pas forcément à l’énoncé d’une condition nécessaire et suffisante bien équilibrée. Les énoncés relatifs aux inégalités demandent à être utilisés avec beaucoup d’attention dans les démonstrations. Sous le masque de prétendues évidences, la géométrie peut faire l’objet d’études (...)Le passage de Vénus : une aubaine pour les enseignants Arkan Simaan Résumé de l’article
Le passage de Vénus devant le Soleil est un phénomène important ayant une portée historique et scientifique. Cet article propose des activités pédagogiques interdisciplinaires qui pourront être faite lors du passage le 8 juin 2004. Plan de l’article Introduction Les passages de Vénus au XVIIIe siècle Propositions pédagogiques La mesure de la distance Terre-Soleil Association avec les autres disciplines Conclusion Bibliographie sommaire en français
Télécharger l’article (...)Mathématiques en environnement multimédia Résumé Cet article passe en revue quatre sites particulièrement utiles aux enseignants de mathématiques :
1°) « The MacTutor History of Mathematics archive », le célèbre site (en anglais) de St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html Il s’agit de l’incontournable site d’histoire des mathématiques. Le site propose près de 1300 biographies de mathématiciens. Une rubrique « mathématiciennes » en recense environ 75. Les biographies sont accessibles alphabétiquement ou par périodes (...)De l’élève aux mathématiques, le chemin s’allonge Nicolas Rouche Résumé Le premier objectif de l’article est d’améliorer pour le lecteur sa perception des mathématiques. Après un survol historique retraçant l’évolution à travers les siècles, jusqu’aux géométries non euclidiennes qui ont changé de nature la notion de « vérité mathématique », l’auteur montre que les mathématiques sont diverses, et ne sont pas une tour d’ivoire. Le passage aux « maths modernes » n’a pas rapporté dans l’enseignement les fruits escomptés. L’apprentissage doit être défini de bout en (...)
