Résumé de l’article
Quatre exercices nouveaux sont proposés. Le premier porte sur les probabilités au sujet de la numérotation des sommets d’un cube. Le second exercice, destiné aux élèves, est constitué de deux questions indépendantes : étude d’une suite arithmético-géométrique et comparaison des pourtours de deux configurations. Le troisième exercice est celui de la recherche du rectangle d’aire maximale circonscrit à un rectangle donné. Le dernier demande la détermination de la courbe plane dont (...)

Exercices
Exercice 516-1 Paul-Alain Bonvert – Alfa du Ginseng ils sont fous ces anglo-saxons ! Pour les nombres rationnels positifs l’écriture $a \dfracbc$ du nombre $a + \dfracbc$ ,dans laquelle $a$, $b$ et $c$ sont des entiers naturels avec $b \geq c$ permet la curieuse égalité suivante : $$\sqrt 2 \dfrac23= 2 \sqrt\dfrac23.$$ Donner une méthode de génération d’autres exemples pour lesquels $\sqrt a \dfracbc= a \sqrt\dfracbc.$ voir l’article où est publiée une solution
Exercice 516-2 pour nos (...)

Résumé de l’article
Quatre exercices nouveaux sont proposés. Le premier, destiné aux élèves, est constitué de deux questions indépendantes : retrouver les axes d’un repères dont on connait les coordonnées de trois points alignés et résoudre un système avec des logarithmes. Le second exercice est tiré des Olympiades espagnoles de 2005 et concerne la géométrie sur les diagonales d’un polygone régulier. Le troisième exercice porte sur le dénombrement d’applications. Le dernier est une équation diophantienne (...)

Résumé de l’article
Cette rubrique contient les exercices 519-1 (détermination d’un angle), 519-2 (lieux des points images de points d’une parabole), 519-3 (équation du 3ème degré avec paramètre), 519-4 (équation du second degré à coefficients complexes) ; ainsi que les solutions des exercices 517-1 (résolution d’un système non linéaire), 517-2 (recherche de triangles multiplicatifs), 517-3 (problème de dénombrement d’applications) et 517-4 (équation diophantienne).
Exercices
Exercice 519-1 Michel Lafond (...)

Résumé de l’article Cet article propose quatre exercices variés. Le premier concerne le découpage d’un quadrilatère. Les deux suivants portent sur les dénombrements de points, intersection et milieu et de la loi de la variable aléatoire construite. Le dernier demande de trouver une approximation du cosinus sur [-$\pi$/2,$\pi$/2] à l’aide d’un polynôme du second degré ou d’un quotient de polynôme du second degré. Exercices
Exercice 515-1 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach Puzzle On donne un (...)

Résumé Cette rubrique contient les énoncés des exercices - 521-1 : calculs de volumes à la Cavalieri ; - 521-2 : problème de lieu géométrique dans le plan ; - 521-3 : calcul de l’aire d’un trapèze ; - 521-4 : constructions de 3 carrés intérieurs à un triangle ; ainsi que les solutions des problèmes : - 519-1 (propriétés angulaires de droites sous contraintes), 519-2 (lieu de points associés à une parabole), 519-3 (propriété d’une équation de degré 3 et calcul de volume d’un solide) et 519-4 (équation du (...)

Pas de nouvel exercice dans ce BV
Résumé
Cette rubrique contient les exercices corrigés 521-1 (faire passer des solides de l’espace dans des trous), 521-2 (lieu de points en géométrie plane), 521-3 (détermination de l’aire d’un trapèze connaissant sa hauteur et la longueur d’une diagonale) et 521-4 (propriété de carrés inscrits dans un triangle).
Solutions Exercice 521-1 Robert March – Paris La boite est percée de 3 trous : le côté du carré, le diamètre du cercle et la base et la hauteur du (...)

Exercices
Exercice 514-1 Marie-Nicole Gras – Le Bourg d’Oisans On considère un triangle ABC ; on désigne par A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB]. Soient M le milieu de [A’C], N le milieu de [B’A] et P le milieu de [C’B]. Soient J le point d’intersection de [B’P] et [C’M], K le point d’intersection de [C’M] et [A’N] et L le point d’intersection de [A’N] et [B’P]. Calculer l’aire $s$ du triangle JKL en fonction de l’aire S du triangle ABC. voir l’article où est publiée une solution (...)

Exercices
Exercice 451-1 (Transmis par Daniel Reisz). Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ et $r$ le rayon du cercle centré sur l’hypoténuse et tangent aux deux côtés de l’angle droit. Comparer $\dfrac1r$ et $\dfrac1b + \dfrac1c$. voir l’article où est publiée une solution
Exercice 451-2 (Géométrie théorique et pratique. Eysseric et Pascal, Delagrave 1874 – Enseignement secondaire spécial et baccalauréat ès sciences –). Diviser un trapèze en deux parties équivalentes par une parallèle aux bases. voir (...)

Exercices
Exercice 452-1 (G. POLYA. La découverte des mathématiques (Dunod, 1967)) Une certaine marque de crayons à bille était affichée à 50 centimes dans le magasin qui est en face de l’école. À ce prix elle trouvait peu de preneurs. Mais lorsque le magasin a réduit son prix tout son stock lui a rapporté 31,93 F. Quel était le prix réduit ? (La condition est-elle suffisante pour déterminer l’inconnue ?). voir l’article où est publiée une solution
Exercice 452-2 (J. ITARD. Nombres premiers (Que (...)

Exercices
Exercice 453-1 Un jardinier doit faire un massif en forme d’ellipse. Il connaît l’emplacement et la longueur du grand axe AB. Le massif doit border le regard P d’une canalisation, c’est-à-dire que l’ellipse devra passer par le point P – ce point est situé à l’intérieur du cercle de diamètre AB et ne se trouve pas sur AB ni sur la médiatrice de AB –. Le jardinier dispose d’un cordeau de longueur AB terminé par deux piquets et de deux autres piquets. Dites comment il tracera son ellipse, sachant (...)

Exercices
Exercice 455-1 Un exercice d’entraînement du Rallye Mathématique POITOU-CHARENTES 92 Le réseau ci-contre est formé de barres de longueurs 1 reliées entre elles seulement par leurs sommets. Pour rendre une maille rigide et carrée, il suffit de relier deux sommets opposés de cette maille par une barre de longueur $\sqrt2$. Combien faut-il au minimum de telles barres pour rendre rigide le réseau ci-contre ? voir l’article où est publiée une solution
Exercice 455-2 Proposé par Jacques Chayé, (...)

Exercices Exercice 512-1 Jean-Christophe Laugier – Rochefort Paul a reçu pour ses étrennes le 1er janvier 2014 une belle montre avec dateur. Mais il a été très désappointé quand, le 1er mars, la montre n’a pas affiché « 1 » comme attendu mais « 29 ». Pour le dateur tous les mois ont 31 jours ! On supposera dans la suite que Paul n’effectue aucune correction sur le dateur. 1) Quand, pour la première fois après le 1er mars 2014, la montre affichera-t-elle une date correcte ? 2) Notons d(n) la date affichée (...)

Exercices
Exercice 457-1, proposé par Jacques BOROWCZYK (Tours) Enoncé Soit un triangle ABC. On considère le trapèze rectangle ayant pour sommets les centres $I _B$ et $I_ C$ des cercles ex-inscrits dans les angles B et C et les points de contact avec la droite (BC) de ces cercles. Montrer que le point d’intersection I des diagonales du trapèze est sur la hauteur issue du sommet A. Si D′ désigne le pied de la bissectrice extérieure issue du sommet A, montrer que la droite (D′I) coupe les bases du (...)

Exercices
Il n’y a pas nouvel exercice proposé dans ce numéro. Solutions
Exercice 452-4
Existe-t-il un triangle ABC tel que la hauteur issue de A, la bissectrice de l’angle \( \widehatBAC\) et la médiane relative au côté [BC] partagent l’angle \( \widehatBAC\) en quatre angles de même mesure ?
Solution de Colette Grippon (Buxerolles)
Solution de Jean Fromentin (Niort)
Solution de Bruno Alaplantive (St Jean du Falga)
NB Cet exercice provient, ici, d’un énoncé, dû à Jean Fromentin, initialement (...)

Exercices Exercice 511-1 Daniel Reisz–Auxerre Un exercice des Olympiades Internationales de 2012. Soit n $\ge$ 3 un entier et soit $a_2, a_3, a_4, .... a_n$ des nombres réels strictement tels que $a_2a_3a_4 .... a_n=1$ Montrer que $$(1+a_2)^2(1+a_3)^2(1+a_4)^2...(1+a_n)^2>n^n$$
Il est exceptionnel de pouvoir aborder dans cette modeste rubrique un exercice des Olympiades Internationales. Ces exercices sont en général difficiles, même pour des solveurs avertis. Voici pourtant une (...)

Exercices Exercice 510-1 Michel Lafond – Dijon arithmétique n est un entier naturel positif écrit en base dix. On note d(n) le dernier chiffre de n et s(n) la somme des chiffres de n.
Si $a=\frac3^2014-12$ démontrer que d(a) = s(s(s(a))).
voir l’article où est publiée une solution
Exercice 510 - 2 Greg Leceul – Detroit only rule Deux cercles concentriques étant donnés sans leur centre, retrouver celui-ci à la règle seule (sans graduation).
voir l’article où est publiée une solution
Exercice 510 - (...)

Résumé Quatre exercices, dont deux de géométrie dans l’espace, relativement faciles pour les élèves, l’un sur un cube et l’autre sur un prisme droit, les deux derniers étant des recherches d’erreurs sur des raisonnements faux, relatifs à des problèmes sur les angles d’un triangle.
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Remarque, NB etc ...
Exceptionnellement, les exercices proposés dans ce numéro ne sont pas extraits de Corol’aire (Journal de la Régionale APMEP Poitou-Charentes), signe de (...)