Exercice n° 1
On donne deux points $A$ et $A’$ sur un cercle $(O)$, et on considère les cercles $(C)$ et $(C’)$ tangents au cercle $(O)$ en $A$ et $A’$ et tangents entre eux au point $M$. Lieu de leur point de contact $M$. Distinguer les parties du lieu d’après la nature des contacts. Lieu des centres d’homothéties des cercles $(C)$ et $(C’)$. Distinguer les parties du lieu d’après la nature de l’homothétie.
Exercice n° 2
Soit un triangle isocèle $ABC$ ($AB=BC$). Construire le foyer $F$ de la parabole (...)

Une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est tangente en $A$ à un plan $(P)$. Dans ce plan, on trace de $A$, comme centre, un cercle de rayon $\rho$. On désigne par $(c)$ le cône ayant ce cercle pour base et le point $O$ pour sommet.
Un plan $(Q)$, perpendiculaire à $OA$ en un point $H$ situé entre $O$ et $A$, coupe la sphère et le cône suivant deux cerckles. Exprimer en fonction de $R$, $\rho$ et de $AH=x$, la somme $y$ des aires de ces deux cercles. Étudier la variation de $y$ quand $x$ varie (...)

On considère une ligne brisée polygonale régulière $ABCD$ de 3 côtés, ayant chacun pour longueur $a$ : on appelle $\alpha$, l’angle extérieur au sommet de cette ligne polygonale.
Soit $O$ le centre de la circonférence qui lui est circonscrite : évaluer en fonction de $a$ et de $\alpha$ :
Le rayon $OA$ de cette circonférence ;
L’angle au centre total $AOD$ ;
La longueur $AD$ et l’angle de $AD$ avec $AB$.
En regardant $AD$ comme la somme géométrique des trois vecteurs $AB$, $BC$, $CD$, écrire le (...)

Sur un cercle de centre $C$ et de rayon $R$, on marque deux points diamétralement opposés $O$ et $A$. On mène par $O$ une sécante $OM$ faisant avec $OA$ un angle égal à $\varphi$, coupant le cercle en $M$ et la tangente en $A$ en $P$. \’Evaluer en fonction de $R$ et $\varphi$ les volumes engendrés en tournant autour du diamètre $OA$ par le triangle $OCM$, par le secteur circulaire $CAM$, par le triangle $OAP$. \’Evaluer en fonction de l’angle $\varphi$ le rapport de l’aire engendrée par le segment (...)

Représenter, par les méthodes de la géométrie cotée, un cube d’arête $a=5$ unités, sachant qu’une de ses diagonales $MN$ est parallèle au plan de projection et que le sommet le plus bas a pour cote zéro et se trouve dans le plan projetant $MN$.
Donner les cotes de tous les sommets.
N. B. — On nomme diagonale d’un cube toute droite joignant deux sommets n’appartenant pas à une même face.

Dans un triangle $ABC$ donné, $BC=2a$ et la médiane $AM=a$. On trace la hauteur $AD$ et l’on pose $\widehatAMB=2x$. Dire la valeur de l’angle $BAC$ ; ensuite calculer $AB$, $AC$, $AD$ en fonction de $a$ et de $x$. Déterminer $x$ de façon que $CD=3.BD$. On fait tourner la figure autour de la droite $BC$. Soient $S_1$ et $S_2$ les aires engendrées par les deux segments $AB$, $AC$ et $S$ l’aire d’une zone de hauteur égale à $AD$ de la sphère de diamètre $BC$. Déterminer $x$ de façon que (...)

On donne un \textitangle droit $XOY$, et à l’intérieur de cet angle un point $A$, on désigne par à et $b$ ses distances $AQ$ et $AP$ à $OY$ et $OX$. — Ce point $A$ est le sommet d’un angle droit quelconque dont les côtés rencontrent $OX$ en $B$ et $OY$ en $C$. On pose $OB=x$, calculer $BC$ en fonction de $a$, $b$ et $x$. Pour quelle position de l’angle $BAC$ la longueur de $BC$ est-elle minimum ? Pour quelle valeur de $x$ l’aire du triangle $OBC$ est-elle maximum ?
Montrer que dans ce cas $BC$ est (...)

On donne deux circonférences de rayon $R$ et $2R$ tangentes intérieurement. On mène par $A$, point de contact des deux circonférences, une droite faisant avec la ligne des centres $OO’$ un angle aigu $\alpha$. Elle coupe les circonférences aux points $B$ et $C$ qui se projettent en $B’$ et $C’$ sur la ligne des centres. On fait tourner la figure autour de $OO’$. Calculer en fonction de $R$ et de $\alpha$ l’aire latérale, l’aire totale et le volume du tronc de cône engendré par le trapèze $BCB’C’$. En (...)

On considère le cône engendré par la révolution d’un triangle équilatéral $SAB$ autour de sa hauteur $SO$, et l’on désigne par $R$ le rayon de la base de ce cône.
Par un point $C$ de $AB$ tel que $AC=x$ on mène un plan perpendiculaire au plan $SAB$ et parallèle à $SB$ ; il coupe le cercle de base suivant la corde $MN$ et l’arête de $SA$ en un point $P$ ; on considère le triangle $PMN$. Déterminer $x$ de façon que l’angle $MPN$ soit égal à $\dfrac2\pi3$. Déterminer $x$ de façon que la somme des carrés des (...)

$xy$ étant la ligne de terre, on donne deux points $A$ et $B$ par leurs projections $(a,a’)$, $(b,b’)$. On placera les données comme il est indiqué dans le croquis ci-après. $a$ est sur la ligne de terre ; $\beta a=4.aa’$ ; $\beta b=\beta b’=3.aa’$ ; et on pourra prendre $aa’=2$ cm. Quel est le lieu géométrique des points de l’espace équidistants des deux points $A$ et $B$ ? Définir ce lieu sur l’épure. Déterminer les points du lieu qui appartiennent aux plans de projection. On donne en outre une droite (...)

Résoudre l’équation trigonométrique :
$$\cos 2x=2a.\cos x$$
où $a$ est un nombre donné et $x$ un angle inconnu. Discuter explicitement les solutions pour $a=\dfrac12$.

On considère un tétraèdre trirectangle en $O$, dans lequel les deux arêtes $OA$ et $OB$ sont égales à $a$ ; la troisième arête $OC$ issue de $O$ est égale à $\dfrac2\sqrt23a$. On désigne par $d$ la distance $OD$ de $O$ à $AB$ ; calculer $d$ en fonction de $a$. Déterminer l’angle que fait le plan $CAB$ avec le plan $OAB$, en calculant la tangente de cet angle. On considère un point $M$ sur $OC$, entre $O$ et $C$, et on désigne par $\alpha$ l’angle $MDO$ ; calculer, en fonction de $a$ et de $\alpha$, la (...)

Soit un quadrilataire (sic) $ABCD$ dont deux angles consécutifs $B$ et $C$ sont droits. On pose $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$. Quelle relation doit-il exister entre $a$, $b$, $c$ pour que les diagonales $AC$ et $BD$ soient perpendiculaires ? $a$, $b$, $c$ ayant des valeurs données, quelconques, avec $a>c$, calculer les angles et les côtés du triangle $AED$, $E$ étant le point de rencontre des diagonales. Calculer numériquement à l’aide des tables la valeur de l’angle $BEC$, en supposant : $a=2$, $b=3$, (...)

Un triangle isocèle $ABC$ a sa base $BC$ horizontale et son plan fait un angle $x$ avec un plan horizontal. Il se projète horizontalement suivant un triangle $abc$, dont l’angle en $a$ est égal à $u$. Calculer la valeur $v$ de l’angle $A$ du triangle dans l’espace. Étant donnés $u$ et $v$, calculer $x$ ; discuter.
Les candidats pourront, sans obligation, s’aider de l’épure en supposant que $BC$ soit (...)

Dans un cercle donné de rayon $R$, on mène une corde et le diamètre perpendiculaire ; soient $O$ le centre du cercle, $A$ l’une des extrémités de la corde, $P$ le po.int d’intersection de la corde et du diamètre ; le triangle $OPA$, tournant autour de $OP$, engendre un cône, et posant $\cos x=t$, on exprimera en fonction de $R$ et de $t$ le volume du cône ; puis, supposant variable l’angle de génération, on étudiera la variation de ce volume.
Considérant enfin la valeur de $t$ qui donne le volume (...)

Soit un losange $ABCD$ dont les côtés ont pour longueur 1. Deux mobiles $P$ et $Q$ se meuvent sur les deux côtés opposés $CA$ et $DB$ ; leurs mouvements sont uniformément variés. En adoptant comme sens positifs les sens $CA$ et $DB$, les mouvements sont ainsi définis : les accélérations sont l’une et l’autre égales à $+2$ ; à l’origine des temps, $P$ est en $A$ et sa vitesse est $+2$, $Q$ est en $B$ et sa vitesse est $+1$. Soit $M$ l’intersection de $PQ$ avec $CD$. Étudier le mouvement de $M$ en prenant (...)

Une droite $AB$, de longueur $a$, est divisée en trois parties égales par les points $C$ et $D$. Sur $AB$ comme diamètre, on décrit une circonférence sur laquelle on prend un point quelconque $M$. On mène $MC=x$ et $MD=y$. On demande : De prouver que : $x^2+y^2=\dfrac59a^2$ De calculer $x$ et $y$ sachant que l’angle $\widehatCMD$ est égal à $\dfrac\pi8$.

Besançon, Série C
Un point $A$ se meut sur une ligne droite $Ox$ et l’espace $e$ parcouru sur cette droite à partir du point $O$ et au bout du temps est donné par la formule :
$$e=4t-3t^2.$$ On demande les expressions de la vitesse et de l’accélération. Au bout de quel temps le point $A$ s’arrête-t-il pour rétrograder et après avoir parcouru quel espace ? Quelle est alors son accélération ? Au bout de quel temps le point $A$ repasse-t-il au point $O$ ? Quelle est alors sa vitesse et quelle est son (...)